2021年考研真题(数学一)分析1.5题

2021年考研真题(数学一)的选择题第5个,这个题主要考查了《线性代数》二次型部分的正惯性指数和负惯性指数的相关知识。
首先我们简单温故一下二次型的相关概念:
(1)二次型:就是n个变量的二次齐次多项式称为二次型,即在一个多项式中,未知数的个数可以任意多个,但每一项的次数都为2的多项式。(它来源于平面解析几何中的二次曲线和空间解析几何中的二次曲面),也可以看我在下面图片中编写的二次型的定义:
(二次型的定义)
(2)特征方程:
(特征方程)

(3)正/负惯性指数:我们把二次型f(x)所化得的标准二次型的平方项的系数中,正的个数称为f(x)的正惯性指数(正特征值个数),负的个数称为f(x)的负惯性指数(负特征值个数)。
下来结合上述定义,我们根据特征方程,算出来特征值的值,易知特征值有三个,-1,0,1,很显然正惯性指数和负惯性指数相等,均为1.故此选项为b.
具体见下面解答:

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